domingo, 24 de octubre de 2010

Conjetura de la métrica Antroscópica JG vs. el Universo Matemático

La Conjetura de la métrica del Universo Antroscópico, es decir nuestro Universo común centrado en los seres vivos, dista una distancia aprox. de 0,4343 de los Universos Matemáticos (Formales), dentro de los cuales está nuestro Universo Físico y Real.







Visualisation of the (countable) field of algebraic numbers in the complex plane. Colours indicate degree of the polynomial the number is a root of (red = linear, i.e. the rationals, green = quadratic, blue = cubic, yellow = quartic...). Points becomes smaller as the integer polynomial coefficients become larger. View shows integers 0,1 and 2 at bottom right, +i near top 

Las ciencias han sido clásicamente divididas en ciencias Sociales, Naturales o Físicas y Formales. Las ciencias Sociales tratan de analizar al hombre y la sociedad, y su veracidad parece solo referida a los términos estadísticos de cuantos hombres mantengan una  afirmación/opinión, así tenemos la Economía, la Sociología, el Derecho y es el lugar en el que anclaremos los fundamentos de nuestro Cosmos Antroscópico (el de las escalas del Hombre). Por contra las Ciencias Naturales tratan de los fenómenos de la Naturaleza, como son por ejemplo la Biología (estudio de los seres vivos), y en particular las Ciencias Naturales Físicas que buscan las leyes Universales del mundo inerte, como son la Física, la Química, la Astronomía cuya veracidad está fuera de toda opinión del hombre terrícola.  Leer el libro de George Soros Sobre Crisis del Capitalismo Global, por su plástica diferenciación entre la verdad universal con independencias de cuantas personas piensen en ello y la verdad social ligada íntimamente a cuantas afirmaciones así se hagan.

Por último están las ciencias Formales, como la teoría de la Información, las matemáticas, que son descritas por  R. Feynman como ciencias no físicas, puesto que no puede probarse nada sobre su realidad (si son verdaderas o falsas de acuerdo a alguna observación o experimento real, según el método de la Falsabilidad de K. Popper). Pues las matemáticas solo son ciertas, falsas o indemostrables (según el Teorema de incompletitud de K. Gödel), de acuerdo a la propia definición y reglas de las que se parte.


En este sentido hay muchas críticas a si la Teoría de Cuerdas o la propia descripción de los primeros instantes de la teoría del Big Bang (a las que me sumo), son teorías físicas falsables o por el contrario, solo elementos especulativos matemáticos, que al adentrarse en las longitudes de Planck de 10^(-33) cm, tiempos de Planck de 10^(-43) seg., densidades de Planck 10^(-93) gr/cm^3 y temperaturas de Planck de 10^(32) ºK, no podrán ser nunca falsadas en un experimento que de realizarse, requeriría de aceleradores de partículas de tamaños y energías  del orden del propio universo.

Volviendo al Universo formal  de las matemáticas, ¿nos hemos planteado alguna vez como se pueden calcular las potencias de un número real elevado a otro, de una forma precisa?. Porque es obvio que sabemos multiplicar un numero por sí mismo un número entero de veces, Pero quizás tengamos muchas dudas de como multiplicar un número (a) por sí mismo "PI" veces, Donde ∏ es un número irracional (es decir que no se puede expresar como una fracción de números enteros n/m), y donde en este caso ∏  vale aprox.:
∏ aprox = 3,14159265358979323846...

Para saber como elevar "X" a Pi veces (se escribe X) conviene antes recordar que hay muchos procesos en la naturaleza cuya variación es proporcional a la variación "relativa" de otra cantidad, lo que se puede escribir así : ∆x = ∆y/y ; lo que genera el extraordinario número de funciones del tipo exponencial, que se expresa como y= aX  + c . A la que probablemente estemos mucho más habituados con nuestra base decimal (a=10) ¿quién no sabe que 1000 se puede expresar como = 103 ?. Lo que quizás no nos sea tan cotidiano es saber que cuando ∆X y AY sean tan pequeños como se quiera (buscando el límite), se genera precisamente la definición de derivada, tal que: dy/dx= y; Lo que viene a decir que la derivada de la función que estamos buscando coincide con la misma función, tal y como se ve a continuación:
d (ex) / dx = ex     
Cuya integración (proceso contrario a la diferenciación) genera los  logaritmos Naturales o Neperianos (Ln), que reciben su nombre del matemático inglés del siglo XVI J. Napier. Es decir, que se cumple que Ln(y) = x , lo que se puede expresar en su forma exponencial natural de las matemáticas (base = e) como y= eX. Donde el valor del número trascendental "e" (que no puede expresarse como una raíz. o solución de una ecuación algebraica de polinomios), es aprox.:







e aprox. = 2,7182818284590452354
El número "e" fue descubierto por J. Bernoulli como límite "natural" de la ecuación del interés compuesto que los bancos deberían pagarnos si, en cada instante se incrementase el depósito inicial con el valor del interés anual (x), por contraposición a que nos paguen el interés a final del  año. Donde eX  se simboliza también como =  exp(x), al ser el límite encontrado al añadir de forma continua (infinita) el interés ganado en cada instante al depósito acumulado, como encontró en su acepción más genérica el matemático suizo L. Euler, así:
Si se particulariza para x=1 se obtiene el número "e" que observo J. Bernoulli. A partir de aquí la definición de logaritmo natural (Ln) aparece al tomar como base "natural" de las potencias o exponenciales el número "e", así si se tiene un numero "Y" expresado en esa base como Y = eX entonces, tomando logaritmos neperianos en ambos lados de la ecuación, obtenemos: Ln (y) = x* Ln (e) = x . Cuyas características más notables son que p.e. la operación de multiplicar se transforma en sumar (en el plano de los logaritmos), y elevar a una potencia o exponenciar se convierte en multiplicar (en el plano de los logaritmos), así:
logb (x*y) = logb(x) + logb(y),
logb (xp) = p* logb(x),
De hecho a las "utilidades" antedicha del número "e", se le unen otras características muchas más profundas, como son las sintetizadas en la fórmula de Euler, para expresar los argumentos de los números complejos en su forma trigonométrica, de la que R. Feynman afirmó en su día que era una de las ecuaciones más notables de todas las provenientes del  mundo de las matemáticas (donde "i" es el número imaginario):
La cual de paso también permite generar los números complejos (números de dos dimensiones con una pareja de valores ordenada en parte real e imaginaria, tal que así (a; ib), que en el caso de Logaritmos de números negativos genera los número "i" y "pi, así":
Ln (-1) =  i*∏
la cual genera una de las ecuaciones más bellas y elegantes del universo de las matemáticas, que es conocida como la Identidad de Euler, en la que en una sola ecuación se ligan los 5 números más importantes de las matemáticas: el vacio 0  y la unidad 1, el numero "i" que genera el campo de los números complejos (dos dimensiones), el número trascendental ∏ (relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro); y el número "e" que es la base de las funciones exponenciales, Logaritmos naturales Ln y la potencia del cálculo de los números complejos (ecuación de Euler), además de las campanas de Gauss que tanta importancia tiene en Estadística y en las distribuciones de Maxwell-Boltzmann, Fermi-Dirac, Bose-Einstein para describir estados microscópicos de partículas. Así:




eiΠ + 1 = 0
La fuerza generatriz del número "e" proviniendo del Universo de las matemáticas, irrumpe en nuestro mundo social y "común", centrado en la cultura e intercambio de la información entre los "hombres terrícolas", a través de su base "común" de potencias como número "10", proveniente de que nuestros genes nos han dotado de 10 dedos (y no de 2,718281...). Lo que ha  hecho que nos sea más fácil manejar y contar los números en base diez que en potencias de "e". Por lo que hemos introducido la  base "10" para los logaritmos decimales (p.e. log (1000) = 3) ó de potencias (p.e. 103 =1000). Es decir, que nuestro mundo Antroscópico ha reemplazado la base natural "e" que nos proporciona un profundo sentido a todas las matemáticas y física, por la base artificial humana de "10", que acorde con el convenio social y cultural humano, nos ha situado finalmente a  una cierta distancia de la base natural "e", a través del factor:


 1/Ln(10) = 0,434294481903252...

Este factor que  deseamos enfatizar bajo esta conjetura de la métrica Antroscópica, proviene de igualar un mismo número (Y), en estas bases diferentes (e; 10), con dos exponentes diferentes (X;Z) respectivamente, así:
Si eX = Y ; 10Z = Y;
Eliminando Y, los que nos lleva a que el exponente denotado por "z" referido a la base común "10", sea igual al exponente "x" en la base "e" de manera que z= 1/Ln(10)*x.

Métrica que denominaremos Antroscópica = 1/Ln(10) = 0,434294481903252...

Para entender mejor la escala logarítmica decimal y su entronque con nuestros genes, no tenemos más que fijarnos en las escalas artificiales que hemos ido inventado para medir los ruidos en decibelios (dado que se sabe el oído humano está diseñado genéticamente para captar las diferencia entre los cambios de los exponentes ó logaritmos y no en las cantidades absolutas de potencia de ruido). Así:
Donde W0 es el valor de referencia umbral de la escala de potencias.
El sentido humano sensorial más importante de la vista, originó en cambio la creación de la Escala decimal logarítmica de Pogson, para adecuar  las definiciones de magnitudes de brillo con las realizadas por el Astrónomo Griego Hiparcos. Dado que el ojo, al igual que nuestro oído solo aprecia las variaciones en los valores de los exponentes ó cambios logarítmicos, y no los valores absolutos del flujo de brillo que nos llegan. Así:
Donde ahora F0 es un valor de referencia para el cálculo del Flujo de energía. Por tanto, del lado del Universo de las matemáticas parecería más conveniente haber definido en logaritmos neperianos o naturales las potencias de ruido y del flujo del brillo, y no en términos de los logaritmos decimales tal y como se ha hecho finalmente. Por lo que los mensajes de información que se envíen o puedan intercambiarse con otro tipo de inteligencia extrarrestres (como p.e. los que se desarrollen en el programa SETI), se deben codificar en un lenguaje universal matemático como es el número "e" o el "PI", que son los números naturales y universales sobre los que se basa en gran parte todo el andamiaje de las matemáticas. Puesto que nuestra base común del número 10 de aplicación exclusiva a los terrícolas humanos no posee ningún otro valor matemático, más allá del que pueda señalar el origen y evolución de nuestros genes.

Por tanto si no se puede cambiar esta forma de "conteo decimal humana" por su marcado peso social, cultural y genético, dejemos pues bien definido el cambio de escala de aprox. 0,4343 entre los exponentes del Universo Matemático y el Antroscópico, como parte de la que denominamos conjetura de métrica Antroscópica. Dejamos de paso abierto el análisis de si este número hallado, es trascendente o no.
Lo que si queda demostrado es que Ln (p) es un número trascendente siempre que  sea valor  entero (p.e. 10; ó 2 : ó 3, etc). Por el Teorema de Lindemann-Weierstrass. Lo que nos permite afirmar que cualquier forma de vida "exohumana" con un nmero entero de dedos o extremidades tiene un numéro trascendente matemático asociado 

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